おつかれさまです！
家庭教師カウンセラーのミナコです。
今日は【順列と組合せ】の考え方・解き方・途中式をお伝えします。
【順列と組合せ】がランダムに出題されたときに迷わず解けるようにするための練習問題と解説も作ってみました。
順列と組合せ、どの式を使うか…誰もが通る道！
「順列と組合せがわからない」
「どの式を使えばいいか自信がない」
お気持ちわかります！
誰もが通る道ですから 安心してください。
順列と組合せ：定期テストや模試でよく出るランダム問題にチャレンジ！
まずは順列と組合せのランダム問題をどうぞ。
どんな式を使って計算するか、判別できますか？？
計算しなくてもいいので解き方だけ考えてみてください。
問１）1から7までの7個の数字全てを1列に並べるときの並べ方は何通りあるか。
問２）1,1,2,2,3の5つの数字を使ってできる5桁の整数の個数を求めよ。
問３）1から7までの7個の数字から異なる3つを選んで作る3桁の整数の個数を求めよ。
問４）6人を、2人ずつ3組に分ける方法は何通りあるか。
問５）8人の委員の中から委員長・副委員長・書記を1人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし兼任は認めないものとする。
問６）6人を、2人ずつA組,B組,C組に分ける方法は何通りあるか。
問７）男子4人、女子3人が1列に並ぶ時、女子3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。
問８）男子9人、女子7人の中から5人の委員を選ぶ時、少なくとも男子が1人含まれるような選び方は何通りあるか。
問９）先生2人と生徒6人が輪の形に並ぶ時の並び方は何通りあるか。
問10）男子9人、女子7人の中から5人の委員を選ぶ時、男子3人と女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。
問11）1,2,3,4,5の5つの数字を重複を許して使ってできる3桁の整数は何個あるか。
問12）正八角形の5つの頂点を結んでできる五角形の個数を求めよ
問13）集合｛1,2,3,4｝の部分集合の個数を求めよ。
問14）8人の生徒から3人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。
問15）2人がじゃんけんをする時、手の出し方は何通りあるか。
順列と組合せ：ランダム問題の解答
解き方（簡略版）と解答は以下のとおりです。
問１）1から7までの7個の数字全てを1列に並べるときの並べ方は何通りあるか。
答え：5040
→階乗n!を使う
問２）1,1,2,2,3の5つの数字を使ってできる5桁の整数の個数を求めよ。
答え：30
→同じものを含む順列。n!/p!q!r!を使う。
問３）1から7までの7個の数字から異なる3つを選んで作る3桁の整数の個数を求めよ。
答え：210
→順列Pの頻出問題。
問４）6人を、2人ずつ3組に分ける方法は何通りあるか。
答え：15通り
→区別のない組分け。C→積の法則→階乗で割る。
問５）8人の委員の中から委員長・副委員長・書記を1人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし兼任は認めないものとする。
答え：336通り
→順列Pの頻出問題。委員に選び出すだけでなく委員長、書記など「役割を決める」場合は「1列に並べる」のと同じ。組合せCと間違えないように！
問６）6人を、2人ずつA組,B組,C組に分ける方法は何通りあるか。
答え：90通り
→区別のある組分け。C→積の法則
問７）男子4人、女子3人が1列に並ぶ時、女子3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。
答え：720通り
→順列&階乗から一歩進んだ問題。女子が隣り合うケースをひとまとまりとして順列（男子全員と女子のひとまとまりを全て1列に並べるので階乗を使う）を数え、さらに女子のまとまりの中の順列（全ての女子を1列に並べるので階乗を使う）を数える。どちらの順列とも同時に起こりうる状況なので積の法則を使う。計算は5!×3!
問８）男子9人、女子7人の中から5人の委員を選ぶ時、少なくとも男子が1人含まれるような選び方は何通りあるか。
答え：4347通り。
→（全ての組合せパターン – 除外パターン）。
問９）先生2人と生徒6人が輪の形に並ぶ時の並び方は何通りあるか。
答え：5040通り
→円順列(n-1!)を使う。
問10）男子9人、女子7人の中から5人の委員を選ぶ時、男子3人と女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。
答え：1764通り
→組合せC→積の法則。男子の組合せと女子の組合せを掛け算。
問11）1,2,3,4,5の5つの数字を重複を許して使ってできる3桁の整数は何個あるか。
答え：125個
→重複順列。nのr乗を使う。
問12）正八角形の5つの頂点を結んでできる五角形の個数を求めよ。
答え：56個
→組合せの頻出問題。Cを使う。
問13）集合｛1,2,3,4｝の部分集合の個数を求めよ。
答え：16個
→重複順列の亜種。部分集合は2のr乗を使う。部分集合になる／ならないの2通りをn,集合の要素4をrとしてnのr乗を計算する。
問14）8人の生徒から3人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。
答え：56通り
→組合せの頻出問題。Cを使う。
問12と答えが同じになる点もチェックしてみてね。
問15）2人がじゃんけんをする時、手の出し方は何通りあるか。
答え：9通り
→重複順列の亜種。じゃんけんが出てきたら3のr乗を使う。グー・チョキ・パーの3通りをn,人数の2をrとしてnのr乗を計算する。
Instagramに解法や途中式などを載せた板書を掲載しています↓
この15パターンが
頭に入っていれば
定期テストも模試も
チョロいですよ〜！
以下の「よく出る問題まとめ」で頻出問題のキーワードを確認してくださいね。
順列：よく出る問題まとめ
【順列】でよく出る問題をキーワードごとにまとめました。
順列（階乗）を使う頻出問題とキーワード
「n人全員を一列に並べるときの並べ方は何通りあるか」
「○から○までの全ての数字を使ってできるn桁の整数の個数を求めよ」
順列（P）を使う頻出問題とキーワード
「n人の中からr人を選んで一列に並べる」
「n個の異なる数字からr個を選んでできるr桁の整数」
「n人からr人を選んで役割を決める」
順列と積の法則（P×P）を使う頻出問題とキーワード
一列に並べることが前提で、
「男子○人と女子○人がいる。彼らを一列に並べるときに両端に女子が来るように並べる方法は何通りあるか」
「男子○人と女子○人がいる。らを一列に並べるときに女子が隣り合うように並べる方法は何通りあるか」
円順列（n-1!）を使う頻出問題とキーワード
「…輪の形に並べる方法は何通りあるか」
「…円卓（丸いテーブル）に座らせる方法は何通りあるか」
「…円を作るときの並べ方は何通りあるか」
重複順列（nのr乗）を使う頻出問題とキーワード
「…重複を許して…」
「…繰り返し用いて良いものとする。」
重複順列（2のr乗）を使う頻出問題とキーワード
「r個をふたつに分ける方法は何通りあるか」
「…部分集合の個数を求めよ。」
重複順列（3のr乗）を使う頻出問題とキーワード
「r人がじゃんけんしたときの手の出方は何通りあるか」
組合せ：よく出る問題まとめ
【組合せ】でよく出る問題をキーワードごとにまとめました。
組合せ（C）を使う頻出問題とキーワード
「n個からr個を取り出す」
「n人からr人を選ぶ」
「n角形の頂点を結んでできるr角形」
組合せと積の法則（C×C）を使う頻出問題とキーワード
「男子a人の中からb人、女子c人の中からd人選ぶ」計算方法：aCb × cCd
組合せ（全パターン-除外パターン）を使う頻出問題とキーワード
「aとbのまとまりからr個選ぶ際、aが少なくとも1個含まれるように選ぶ」
区別がある組分けを使う頻出問題とキーワード
「n個をr個ずつA,B,C…の異なる○組に分ける」
区別がない組分けを使う頻出問題とキーワード
「n個をr個ずつ（単純に）○組に分ける」
順列（組合せでも解ける）：よく出る問題まとめ
「同じものを含む順列」を使う頻出問題とキーワード
「（同じものを含む集団を）一列に並べる」
順列と組合せ：定期テスト対策におすすめの問題集
順列と組み合わせの単元においておすすめの問題集を３冊、厳選しました！
トレーニングノートα（受験研究社）
安価なのにこの網羅性はスゴイです。
たいていの高校ならコレ１冊で定期テストを乗り切ることが可能。
白チャート（数研出版）
共通テストも視野に入れている方は白チャがおすすめ。
文系数学の必須アイテムです。
体系数学３（論理・確率編）
もっと例題や途中式を見たいんだよなぁ…という方には体系数学がオススメです。
中高一貫校の指定教材になってるのが理解できる珠玉の数学教科書。
基礎からちょいムズまで、定期テスト対策から受験準備まで、コレ1冊で可能です。
読んでくれてありがとう！
おつかれさまでした！
テストがんばってね！
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＊このページに記載したことは、学問としての数学においては適切でない可能性があります。高校数学の考え方・解き方として参考にしてください。